ما هي الأعداد الكلية؟

ما هي الأعداد الكلية؟

ما هي الأعداد الكلية؟، كثيرا ما يختلف أبنائنا الطلاب في الأعداد، ولا يعرفون الفرق بين مجموعات الأعداد المختلفة، ولذلك سوف نتعرف على ما هي الأعداد الكلية؟ وما الفرق بينها وبين مجموعات الأعداد الأخرى؟

تاريخ الأعداد

  • حرص الإنسان منذ القدم على استخدام الطرق الحسابية للاستيعاب البيئة حوله، وبالتالي فإنه كان يحتاج إلى الأعداد، والمؤرخون ذكروا بأن الإنسان القديم لم يكن يستخدم الأعداد بل استخدام أصابع اليد والحصى والعصي للعد وإجراء العمليات الحسابية.
  • تطورت الحضارات واتسعت المفاهيم والعلوم وتم اختراع المعداد في الحضارة البابلية القديمة، كطريقة معتمدة للعد، وقد ظهرت رموز الأعداد في الحضارة المصرية القديمة لكن ليس كل الأعداد.
  • فمثلا في الحضارة المصرية القديمة كان يعبر عن الرقم 1000 برمز زهرة اللوتس ورمز مقياس النيل عن الرقم 100 وهكذا، وكانت الأرقام تقرأ من اليمين إلى اليسار ومن أعلى إلى أسفل.
  • طور الإغريق نظام الأعداد المصري وجعلوه أكثر سهولة، وذلك باستخدام الحروف اليونانية بدلا من الرموز المصرية، وبذلك تم التعبير تقريبا عن كافة الأعداد برموز أقل.
  • عبر الإغريق عن الأعداد من 2 – 9 والأعداد 20 – 30 – 40 إلى 90 والأعداد 200 – 300 – 400 إلى 900 كل له رمز أو رمزين على الأكثر.
  • كان هذا نظام الأعداد أكثر سهولة من النظام المصري، فمثلا للتعبير عن العدد 87 في النظام المصري تحتاج إلى حوالي 15 رمز، أما في النظام اليوناني تحتاج فقط إلى 3 رموز، رمزين للعد 7 ورمز واحد للعد 80.
  • بعد ذلك طور العلماء المسلمون الأعداد ويرجع الفضل للعالم المسلم الخوارزمي في اختراع العدد صفر بعد أن كان الإغريق والرومان يعتبرون أنه لا يوجد بما يسمى العدد صفر وأن هذا ضربا من الجنون والهرطقة بل والكفر أيضا.

الأعداد

  • كما ذكرنا أن رموز الأعداد لم تبدأ أن تظهر إلا في الحضارة المصرية القديمة وكان يستخدم المصريون القدماء رموز من البيئة المحيطة الخاصة بهم للتعبير عن الأعداد مثل القوس للرقم 10 وزهرة اللوتس للرقم 100 والضفدع للرقم 10000 وهكذا.
  • طور الإغريق هذه الرموز وعبروا عن الأعداد بالحروف الهجائية مما جعل عملية العد والتعبير عن الأعداد أكثر سهولة، فمثلا كان الحرف X يعبر عن الرقم 10 وكان الحرف V يعبر عن الرقم 5.
  • أما العرب فقد استخدموا الأرقام الهندية ٠ – ١ – ٢ – ٣ وهكذا، ورغم أنها أعداد هندية إلا أنها أطلق عليها الأعداد العربية بسبب أن العرب هم أول من أدخلوها إلى العالم أوروبا والعالم الغربي.
  • أما الأرقام الإنجليزية الحالية 0 – 1 – 2 – 3 فهي الأرقام العربية التي استخدمها العرب واخترعوها.
  • مع تطور اللغات تطورت الأعداد وهناك رموز للأعداد مختلفة في مختلف بلاد العالم، وذلك لأهمية الأعداد في الحياة اليومية وحياة الإنسان عموما، ومن هنا جاءت أهمية تقسيم الأعداد إلى مجموعات.

مجموعات الأعداد

جاء تقسيم الأعداد إلى مجموعات لتسهيل أجراء العمليات الحسابية وفهم أوضح للمسائل الرياضية، وقد قسم علماء الرياضيات مجموعات الأعداد إلى المجموعات التالية

  • مجموعة الأعداد الكلية أو أعداد العد وهي المجموعة الأولي والأساسية من مجموعات الأعداد وهي مجموعة الأعداد من 1 – 2 – 3 إلى ما لا نهاية ويرمز لها بالرمز (ك).
  • مجموعة الأعداد الطبيعية وهي الأعداد بداية من الصفر بالإضافة إلى الأعداد الكلية هكذا 0 – 1 – 2 – 3 إلى ما لا نهاية ويرمز لها بالرمز (ط).
  • مجموعة الأعداد الصحيحة وهي الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى الأعداد السالبة ويعبر عنها بهذا الشكل (ما لا نهاية …. 3- _ 2- _ 1- _ 0 _ 1 _ 2 _ 3 إلى ما لا نهاية) ويرمز لها بالرمز (ص).
  • يمكن تقسيم مجموعة الأعداد الصحيحة إلى مجموعتين فرعيتين هي مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة (ما لا نهاية ……. 3- _ 2- _ 1- ) ومجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة (1 – 2 – 3 إلى ما لا نهاية) حيث اتفق العلماء على أن العدد صفر ليس عددا موجبا أو سالبا.
  • مجموعة الأعداد النسبية ويعبر عنها بالرمز (ن) وهي تشير إلى جميع الأعداد الصحيحة التي يمكن التعبير عنها من خلال البسط والمقام شرط أن يكون المقام لا يساوي صفر، ولذلك يطلق عليها أيضا مجموعة الأعداد الكسرية لأنه يعبر عنها عن طريق الكسور.
  • مجموعة الأعداد الغير نسبية وهي مجموعة الأعداد التي لا يمكن التعبير عنها في شكل كسور مثل الأعداد التي تقع تحت الجذر التربيعي مثل 2
  • مجموعة الأعداد الحقيقية وهي مجموعة الأعداد النسبية بالإضافة إلى مجموعة الأعداد غير النسبية، وهي كافة الأعداد التي يتم التعامل بها وهي أكثر مجموعات الأعداد ويعبر عنها بالرمز (ح).
  • مجموعة الأعداد الأولية وهي مجموعة خاصة تشمل مجموعة الأعداد الطبيعية التي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى العدد 1 مثل (1 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 إلى ما لا نهاية).
  • جميع مجموعات الأعداد هي مجموعات غير منتهية.

ما هي الأعداد الكلية؟

  • الأعداد الكلية هي مجموعة الأعداد التي تستخدم في العمليات الحسابية أو العد، ولذلك يطلق عليها أيضا مجموعة أعداد العد، ويرمز إلى مجموعة الأعداد الكلية بالرمز (ك).
  • ويمكن تعريف الأعداد الكلية أيضا بأنها هي مجموعة الأعداد الطبيعية منقوصا منها العدد صفر {ك} = {ط} – صفر.
  • مجموعة الأعداد الكلية هي أصغر مجموعات الأعداد وهي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الطبيعية ومجموعة الأعداد الطبيعية جزء من مجموعة الأعداد الصحيحة ومجموعة الأعداد الصحيحة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية.
  • مجموعة الأعداد الكلية هي 1,2,3,4….. إلي ما لا نهاية.
  • مجموعة الأعداد الكلية ك = {1,2,3,4,…..}
  • {ك} {ط} {ص} {ن} {ح} حيث ك هي مجموعة الأعداد الكلية، ط هي مجموعة الأعداد الطبيعية، ص هي مجموعة الأعداد الصحيحة، ن هي مجموعة الأعداد النسبية، ح هي مجموعة الأعداد الحقيقية.

خصائص الأعداد الكلية

  • الأعداد الكلية هي 1,2,3 إلى ما لا نهاية، فهي أعداد موجبة فقط، ولا تتضمن العدد صفر، ولا تحتوي على أعداد سالبة أو كسرية أو عشرية.
  • العمليات على الأعداد الكلية الضرب والقسمة والجمع دائما يكون الناتج رقما موجبا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الكلية.
  • طرح الأعداد الكلية يكون دائما عددا موجبا إلى في حالة واحدة وهي طرح العدد من نفسه، فيكون الناتج صفر، والصفر ليس عددا موجبا أو سالبا ولا ينتمي لمجموعة الأعداد الكلية.
  • لا يمكن بأي حال من الأحوال عند إجراء أي من العمليات الحسابية أن يكون الناتج قيمة سالبة أو عددا عشريا أو كسريا.
  • يمكن إجراء العمليات الحسابية من مجموعة أعداد العد مع أي مجموعة من مجموعات الأعداد الأخرى ويكون الناتج ينتمي إلى مجموعة الأعداد الأخرى وينتمي إلى مجموعة الأعداد الكلية إذا كان موجبا فقط وليس كسريا وليس عشريا ولا يساوي صفر.

ما هي الأعداد الطبيعية؟

  • الأعداد الطبيعية هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة بالإضافة إلى العدد صفر وهي مجموعة أعداد غير منتهية.
  • يرمز إلى الأعداد الطبيعية بالرمز ط في العمليات الحسابية باللغة العربية وبالرمز N في اللغة الإنجليزية والحرف N يشير إلى Natural Numbers أي الأعداد الطبيعية باللغة الإنجليزية.
  • مجموعة الأعداد الطبيعية هي ط = {0,1,2,3,4,} حيث الرمز يشير إلى ما لا نهاية.
  • من خصائص الأعداد الطبيعية الجبرية أن مجموعة الأعداد الطبيعية خاصية الإغلاق والتجميع والتبادل وتوزيعية، ويعتبر الصفر عدد محايد أي أنه ليس عددا موجبا أو سالبا.
  • مجموعة الأعداد الطبيعية {ص} مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الصحيحة {ص} ومجموعة الأعداد الصحيحة مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد النسبية {ن} ومجموعة الأعداد النسبية مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية {ح}.

ما لا تعرفه عن الأعداد الطبيعية

  • مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة الأعداد الصحيحة منقوصا منها الأعداد السالبة، أو بمعنى أخر مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة بالإضافة إلى العدد صفر.
  • {ط} {ص} {ن} {ح} حيث ط هي مجموعة الأعداد الطبيعية، ص هي مجموعة الأعداد الصحيحة، ن هي مجموعة الأعداد النسبية، ح هي مجموعة الأعداد الحقيقية.
  • مجموعة الأعداد الطبيعية هي 0,1,2,3 إلى ما لا نهاية، ولا تحتوي على أي أعداد سالبة أو كسرية أو عشرية أو أعداد تحت الجذر.
  • العمليات على الأعداد الكلية الضرب والقسمة والجمع والطرح دائما يكون الناتج رقما موجبا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية، وإذا كان الناتج صفر فهو ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية ولكنه عدد محايد أي أنه ليس عددا موجبا أو سالبا.
  • لا يمكن بأي حال من الأحوال عند إجراء أي من العمليات الحسابية على مجموعة الأعداد الطبيعية أن يكون الناتج قيمة سالبة أو عددا عشريا أو كسريا.
  • يمكن إجراء العمليات الحسابية من مجموعة الأعداد الطبيعية مع أي مجموعة من مجموعات الأعداد الأخرى ويكون الناتج ينتمي إلى مجموعة الأعداد الأخرى وينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية إذا كان موجبا فقط وليس كسريا وليس عشريا ولا عددا سالبا.

الأعداد الكلية من أصغر مجموعات الأعداد وهي التي يبدأ بها الأطفال في تعلمها، لذلك من الهام معرفة ما هي الأعداد الكلية؟ لأنها هي أو المجموعات التي يتعامل معها الأطفال ويعرفون قيمة وأهمية الأعداد في العمليات الحسابية والحياة العامة.

أترك تعليق