ما هي الأعداد الحقيقية؟
ما هي الأعداد الحقيقية؟، الأعداد الحقيقة هي جميع الأعداد التي من الممكن العثور عليها في خط الأعداد وهي تجمع الأعداد غير النسبية والأعداد النسبية والسالبة والموجبة وأيضا الصفر وهي الأعداد التي يتم استخدامها في حياتنا.
محتويات المقال
[ عرض ]
مجموعات الأعداد الحقيقة
- الأعداد الحقيقة يتم تقسيمها إلى أعداد نسبية، وغير نسبية، التي بدورها تنقسم إلى أعداد كسرية، وأعداد صحيحة، ويتم تقسيم الأعداد الصحيحة إلى أعداد كاملة.
- أعداد سالبة، وتنقسم الأعداد الكاملة إلى أعداد الطبيعية والصفر، ويتم توضيح كل مجموعة من هذه المجموعات فيما يلي.
- الأعداد النسبية هي الأعداد التي يستطيع كتابتها على طريق كسر مكون من بسط ومقام.
- الأعداد الصحيحة هي الأعداد التي لا يوجد بها أجزاء عشرية، وتجمع الأعداد السالبة، الأعداد الكاملة.
- الأعداد الكسرية هي التي تجمع الأعداد التي تتواجد بين الأعداد الصحيحة على خط الأعداد.
- الأعداد الكاملة الأعداد الطبيعية بإضافة إلي صفر.
- الأعداد الطبيعية هي تشمل الأعداد الصحيحة من بداية الرقم ١.
أنواع أخرى للأعداد
- الأعداد الفردية والزوجية: الأعداد الفردية هي الأرقام التي لا تقبل القسمة على (٢)، بدون باقي، والأعداد الزوجية هي التي تشمل الأعداد الصحيحة التي تقبل القسمة على العدد (٢) بدون باقي.
- الأعداد السالبة والموجبة: الأعداد السالبة تشمل الأعداد الصحيحة وتقل عن العدد (٠)، الأعداد الموجبة تشمل الأعداد الصحيحة التي تزيد عن العدد (٠).
- الأعداد الأولية والمركبة: الأعداد الأولية تشمل الأعداد الطبيعية هي التي لديها عاملين فقط هما العدد واحد ونفسها، أما بخصوص الأعداد المركبة فهي تشمل الأعداد ليست أولية متبقية.
خصائص الأعداد الحقيقية
لتبسيط إجراء العمليات الحسابية والجبرية في حل المعادلات، يجب فهم خصائص الأعداد الحقيقية، وهذه الخصائص تتعلق بسلوك الأعداد عند تنفيذ عليها العمليات الأساسية الرياضية، هي كالآتي:
- عندما يتم ضرب أو جمع أعداد حقيقية فإن الناتج يكون أيضا عدد حقيقي.
- الخاصية التبديلية: عندما يتم ضرب أو جمع عددين حقيقين فيكون الناتج هو نفسه، بعيدًا عن ترتيب الأعداد.
- فمثل هذه المسألة (٥+٣) = (٣+٥) =٨، (٢×٣) = (٣×٢) =٦.
- الخاصية التجميعية: عندما يتم ضرب أو جمع ثلاثة أعداد فيظهر الناتج هو نفسه، بعيدًا عن طريقة تجميع هذه الأعداد داخل القوس.
- مثال (٢+٥) +٣=٥+(٢+٣) =١٠، أو (٢×٥) ×٣= (٢×٣) ×٥=٣٠.
- خاصية الهوية: عندما يتم جمع الصفر بغض النظر عن عدد حقيقي فيكون الناتج العدد الحقيقي نفسه.
- عندما يتم جمع العدد الحقيقي مع المعكوس له فيكون النتيجة تساوي صفر مثال ١٤+-١٤=٠.
- عندما يتم ضرب عدد حقيقي غير الصفر مقلوبة، فيكون دائمًا النتيجة تساوي واحد مثال، ٢×١/٢=١.
- خاصية التوزيع: عندما يتم ضرب عددين حقيقين بعدد حقيقي وتفصل بينهم عملية جمع داخل قوس فإن عملية الضرب يتم توزيعها على عملية الجمع.
- مثال٤× (٨+٥) =٥×٤+٨×٤=٣٢+٢٠=٥٢.
- خاصية المعكوس الجمعي: هو نتيجة عملية جمع عدد من معكوسة الجمعي فيساوي دائمًا العدد صفر بمعني 6+(-٦) =٠
خصائص أخرى متعلقة بعملية الجمع
- الناتج الظاهر من عملية الجمع يكون في العادة أكبر من العددين الذي تم جمعهم معًا.
- ناتج عملية الجمع يكون على خط الأعداد دائمًا يمين العددين الذي تم جمعهما معًا.
- عملية جمع الأعداد الصحيحة دائمًا يكون الناتج عدد صحيح، وهذه الخاصية تعرف خاصية الانغلاق في الجمع.
- إذا كان ب، ج عددان حقيقيان، فإن- (ب، ج) =(-ب) +(-ب)، بمعني سالب أو معكوس ناتج جمع عددين، يعادل ناتج جمع معكوس العددين.
خصائص عملية الطرح
- الخاصية التبادلية التي تتميز بها عملية الجمع لا تنطبق على عملية الطرح مثال ٧-٤=٣ولكن ٤-٧=-٣ وهكذا بمعنى عملية الطرح ليست عملية تبادلية ولا تجميعية.
- إذا كان بغير الصفر، ونتيجة طرح العدد صفر من، يساوي العدد نفسه بمعني ب-٠=ب، مثال ١٦-٠=١٦، يتم تعريف هذه الخاصية خاصية الهوية.
- أذا كان د، ج، ح أعدادا صحيحة وكان د-ج=ح فإن د=ج+ ح، إذا كان د، ج أعدادًا صحيحة وكانت د> ج أو د=ج فإن د-ج = عدد صحيح، وإذا كان ج>د فإن الناتج يكون عدد سالب القيمة
- عندما يتم طرح القيمة نفسها أو العدد نفسه من جميع أطراف المعادلة فإن الطرفين يصبحان متساويين.
- عندما يتم طرح العدد نفسه من نفسه فإن النتيجة تكون صفر.
الأعداد الحقيقية الفيزياء
تستعمل الأعداد الحقيقية في الفيزياء توضيح عن المقاييس ويحدث هذا لسببين أساسيين:
- الحسابات الفيزيائية نتيجتها لا يتم توضيح عنها بأعداد كسرية (عدد جذري) غالبًا، بدون أن يأخذها علماء الفيزياء بعين الاعتبار في استدلالاتهم، لئلا يوجد لها أي معنى فيزيائي.
- نلاحظ أن مفاهيم مثل السرعة اللحظية وأيضا التسارع في الفيزياء، هذه بعض المفاهيم الناتجة من نظرية رياضية التي تهتم بالأعداد الحقيقية كثيرًا، وتعتبرها كحاجة نظرية.
- برغم إلى أن هذه المفاهيم تكون أهميتها زائد، وأكثر دقة إذا لم يتم التعبير عنها بأعداد حقيقية.
- بالمقابل لا يستطيع بالاكتفاء بأعداد بدقتها ليست منتهية في المقاييس الفيزيائية، لذلك فيتم تقريب هذه الأعداد بحسب الاحتياج لأعداد عشرية.
- أذا قاموا علماء الفيزياء بحساب في R، فيحتاجون إلى توضيح النتائج بالأعداد العشرية.
الأعداد الحقيقة في الحاسوب
لا يستطيع الحاسوب حسابات كل الأعداد الحقيقية، ولكن تعمل على بعض الأعداد الحقيقية، وعدد اللائي يقوم الحاسوب باستخدامه من أجل تخزين ومعالجة الأعداد الحقيقية.
ما هي الأعداد الحقيقية؟
- الأعداد الحقيقية هي أي عدد يستطيع التفكير فيه، هو يجمع مجموع الأعداد السابقة، الأعداد الحقيقية من الممكن أن تكون سالبة وموجبة، وأيضا أنها تجمع الصفر.
- تم تسمية الأعداد الحقيقية بهذا الاسم لأنها تملك أعداد حقيقية ليست وهمية، والتي تعتبر نظام مختلف من الأعداد، وهي أعداد لا يستطيع تحديدها الجذر التربيعي للعدد-١.
- ومن أهم الخصائص التي توضح الأعداد الحقيقية هي تستطيع تمثيل نفسها على خط الأعداد، والذي يعتبر خط مركزه صفر أو ما يطلق عليها نقطة الأصل.
- علي يمين الصفر جميع الأعداد الموجبة، وعلى شمال الصفر جميع الأعداد السالبة، وجميع الأعداد الموجودة على هذا الخط يعتبر عدد حقيقي.
- تستخدم الأعداد الحقيقية في قياس المسافة، قياس الطاقة، وقياس كميات الكتلة، الوقت، السرعة، الطاقة، ويوجد غيرها.
- مثال الأعداد الحقيقية الأعداد الطبيعية ١-٢-٣، الأعداد الصحيحة 3,2,0,,–2,–3، الأعداد النسبية ١/٢، والأعداد غير النسبية هي أي كسر عشري منته وغير دوري وهو٣.١٤١٥٩٢٦.
- هي الأعداد التي لا يستطيع إيجادها على خط الأعداد أو تمثيلها، والعدد التخيلي عندما يتم تربيعه يكون النتيجة عدد سالب، وأنها لا تمثل شيئًا ملموسًا الأعداد الحقيقية.
- ولكنها تعتبر أساسا مهمًا جدًا في الرياضيات الحديثة، ويتم استخدامها في التطبيقات التكنولوجية، دراسة الظواهر الجديدة.
- تمثل اقتراحات الجيب جزء مهم منها فمثلا التيار المتردد (AC)، تحليل الإشارات الرقمية، حتى الموجات الدماغية.
خواص القوى في الرياضيات
1- نظرة عامة حول القوى في الرياضيات
- عملية رفع العدد للأسس أو القوى يمكن تعريفها بأنها عملية التي يتم تكرار ضرب العدد المرفوع لقوة نفسها، ويعرف أسم الأساس لعدد معين من المرات يساوي قيمة القوة.
- فمثلا ب× ب× ب ×ب…… فتكرار العدد ب هو الأساس بمقدار ن من المرات وتكون القوة أو الأس.
2- خواص القوى في الرياضيات
- خاصية ضرب الأسس هذه الخاصية تنص على أن الأسس يتم جمعها عند إتمام عملية ضرب أسين متساويين في الأساس أو القاعدة.
- خاصية قسمة الأسس هذه القاعدة تنص على أن الأسس يتم طرحها من بعضها عند قسمة أسين متساويين في الأساس أو القاعدة.
- خاصية رفع القوة إلى قوة أخرى هذه القاعدة تنص على أن وقت ما يكون العدد مرفوع إلى قوة معينة داخل القوس، ويرفع القوس بأكمله إلى قوة أخرى، النتيجة تكون رفع العدد لقوة متساوية لحاصل ضرب القوتين معًا.
- رفع حاصل عملية الضرب لقوة ما هذه العملية تنص على أن نتيجة رفع حاصل ضرب عملية الضرب إلى قوة ما تساوي حاصل ضرب كل عدد من الأعداد المجموعة بعملية الضرب، عندما تكون كل منها مرفوعًا لهذه القوة.
ما هو العدد الصحيح؟
- العدد الصحيح هو العدد الذي لا يتكون من أجزاء كسرية، فهو لا يحتوي على خانات يمين الفاصلة العشرية، ويكون العدد الصحيح موجب وسالب أيضًا صفر.
- وتعد الأعداد الصحيحة جزئية تقع تحت مجموعة الأعداد الحقيقية، التي تجمع إضافة الأعداد الصحيحة كالآتي الأعداد الطبيعية، الأعداد الكاملة، الأعداد الكسرية، الأعداد النسبية، الأعداد غير النسبية.
- والأعداد الصحيحة يرمز لها في العدد بالرمز z)).
- الأعداد الحقيقية تشمل الأعداد الواقعة على خط الأعداد بما ما فيهم الصفر، الأعداد الطبيعية، الأعداد العشرية، والأعداد السالبة والموجبة.
- الأعداد الطبيعية هي تشمل الأعداد الصحيحة بداية من العدد واحد والذي يزيد عنه.
- الأعداد الكاملة هي الأعداد الطبيعية المضاف إليها الصفر، وبنسبة الأعداد النسبية هي التي يمكن كتابتها على شكل كسر مكونة من بسط ومقام.
- الأعداد الكسرية هي التي تكون واقعة بين الأعداد الصحيحة على خط الأعداد.
- فمثلا قوم لتصنيف الأعداد الآتية إلى أعداد صحيحة أو غير صحيحة {٨٠، ١.٣٣، -١٤،٢/٣، ٢٠٦، ٠، ١/٤، ٩، ٣/٨-}
- الحل العدد الصحيح هو (٨٠)، (١٤)، (٠)، (٢٠٦)، (٩).
- العدد غير صحيح (1.33)، (٣/٤،)، (١/٤)، (3/8-).
تمثيل الأعداد الصحيحة على خط الأعداد
يعد خط الأعداد من الأساليب التي من خلالها تمثل الأعداد، ولذلك يتم من خلال ترتيبهم على خط أفقي طويل ليس له نهاية من الطرفين، اليسار واليمن، وتتوزع الأعداد عليه حسب الخصائص الآتية:
- يقع الصفر في وسط الخط، حيث الأعداد الأصغر منه تقع على يساره، والأعداد الأكبر منه تقع على يمينه.
- الأعداد الصحيحة التي تقع على يمين الصفر وتكون أكبر منه يطلق عليها الأعداد الصحيحة الموجبة، وتحمل الرمز (+).
- بينما الأعداد التي تقع على يسار خط الأعداد وتكون أصغر من الصفر، يطلق عليها الأعداد الصحيحة السالبة وتحمل رمز (-).
- يعد الصفر عدد صحيح متعادل، فهو ليس عدد موجب أو عدد سالب.
- العدد الصحيح إشارته يجب أن تكون سالبة أو موجبة، إلا الصفر، لا يوجد إشارة له.
- العددين الصحيحين ويعتبر معاكسين لبعضهما إذا كانت المسافة التي تفصل كليهما عن الصفر متساوية، بمعنى إذا كان أحدهما يقع على يمين الصفر، والآخر على يساره.
- مثال العددين الصحيحين المتعاكسين (+٢، -٢)، (+٦، -٦).
ما هي الأعداد الأولية؟
1- نظرة عامة حول الأعداد الأولية
- هي الأعداد الصحيحة الموجبة الأكبر من الرقم واحد، وهي تقبل القسمة على رقمين فقط هما الرقم نفسه والواحد بدون باقي مثال العدد 14، 17.
- الأعداد الأولية هي الأعداد الصحيحة الموجبة الأكبر من واحد، وتقبل القسمة على عدد آخر غير الواحد، وتقبل القسمة على عدد غير نفسها، وتسمى أيضا الأعداد المركبة.
- وهي من الأعداد التي يمكن تجزئتها مثل العدد (٢٨)، الذي يحتوي على عدة عوامل، العدد (٢) يعد أصغر الأعداد الأولية، بينما العددان (١،٠) يستبعدان من قائمة الأعداد الأولية.
2- خصائص الأعداد الأولية
- الأعداد الأولية جميعها فردية عدا (٢).
- الأعداد الصحيحة التي يمكن أن تزيد عن العدد (٣)، يمكن التعبير عنها كنتيجة مجموع عددين أوليين.
- العددان (٣،٢) هما العددان الأوليان المتتاليان فقط.
- الأعداد الصحيحة جميعها ماعدا (١،٠) هي أولية.
- إذا كان ناتج الأرقام المكونة لعدد ما من مضاعفات العدد (٣)، فلا يستطيع أن هذا العدد يكون أوليًا.
3- طريقة تحديد الأعداد الأولية
- العدد الأولي يتميز بأنه بلازم أن يقبل القسمة على عدد مركب يساوي أو يقل عن جذره دون باقي، فإذا كان العدد (أ) مركب، فبتالي يلازم له أن يقبل القيمة دون باقي على أحد الأعداد الأولية التي تساوي أو تقل ن✓.
- في حال عدم قبول العدد القسمة بدون باقي على جميع هذه الأعداد أولى، فهذا يدل بأن مثلًا عدد 23 لا يقبل القسمة على أي عدد أولي، يساوي أو يقل 23✓، بدون باقي وهذا يثبت بأنه أولى.
ما الفرق بين العدد والرقم؟
- الأرقام هي تتشكل على هيئة رمز للعدد، وقد أوضح المتخصصين على أن الأرقام تبدأ من الرقم 0، وتنتهي بالرقم 9، فهي محدودة.
- ولكن الأعداد لا حصر لها وفهي تبدأ ولا تنتهي، فإذا لا يوجد في الأعداد ما هو أكبر منها، فهناك المزيد من الأعداد.
- ولذلك أوضح الدارسين بأن العدد ثمانية مثلًا يكون في حد ذاته رقم واحد هو الرقم ثمانية، والرقم ثماني وعشرون يتكون بحد ذاته من رقمين اثنين هما الأول والثاني 2.
- عند إتمام العمليات الحسابية لا نقوم بالقول الرقم (٢٨)، بل نقول العدد (٢٨)، فهذا يوضح إلى ما يرمز له العدد 28.
تعامل علم الرياضيات الحديث مع الأرقام والأعداد
- علم الرياضيات الحديث يقوم في الوقت الحاضر على أساس العدد بصورته الكاملة والخاصة، ولا يقوم على أساس الأرقام، ولذلك فأصبح في دراستنا ما يعرف بالأعداد العقلانية.
- وتكون هذه الأعداد التي تكتب على شكل كسور، ويوجد أعدادا لا عقلانية، ويوجد أعدادًا مركبة، وأيضا الأعداد الكاترينيونية، ويوجد مسميات كثيرة، علم الجبر هو الذي يدرس ويشرح كل تلك الأعداد.
ما هو العدد العشري؟
1- تعريف العدد العشري
هو نظام يعتمد على الرقم 10، ويشمل التعبير عن الأعداد بعيدًا عن قيمتها عند استخدام الفاصلة العشرية، التي من خلالها يمكن التعبير عن الأجزاء العشرية.
في علم الجبر يعرف العدد العشري بأنه العدد الذي يمتلك فاصلة عشرية، تكون بفصل أعداد الصحيحة وأجزائه العشرية، والعدد العشري يحتوي على ثلاث أجزاء رئيسية وهي:
- العدد الصحيح: يكون العدد الذي يتم كتابته يسار الفاصلة العشرية، ويكون أكبر من العدد، (١)، أو مساويًا، ويحتوي على أعداد لها منازل عشرية مختلفة من ألوف، والمئات، والعشرات.
- الأجزاء العشرية: يكون العدد الذي يتم كتابته يمين الفاصلة العشرية ويكون أصغر من العدد (١)، وتكون أجزاء من العشرة، أو المئة، أو الألف، أو غيره، يمكن التعبير عنها بصيغة الكسور.
- فمثال إذا كان العدد العشري يسازي0.8فإن بمكن التعبير عنه بصيغة الكسور على شكل 8/10، إذا كان يساوي 0.08، فيمكن التعبير عنها بصيغة الكسور بشكل 7/100.
- الفاصلة العشرية: هي عبارة عن رمز يفصل بين الجزء العشري، العدد الصحيح، ويرمز لها برمز(.).
2- منازل العدد العشري
- العدد العشري عند الحركة فيه من اليمين لليسار، فتزداد قيمة العدد بمقدار عشرة أضعاف، وعند الحركة من اليسار لليمين فإن قيمته تقل بمقدار عشرة أضعاف المثال الآتي يوضح ذلك.
- العدد 19.481يتكون من جزأين وهما
- العدد الصحيح هو في هذا المثال يساوي 19، فيه العدد (٩)، يقع في الآحاد، و(١)، يقع في العشرات، والحركة نحو اليسار تزداد قيمة كل عدد من إعداده بمقدار عشرة أضعاف.
- بمعنى أننا ننتقل من خانة الآحاد إلى خانة العشرات وهكذا، وعند الانتقال اتجاه اليمين تقل قيمة كل عدد بمقدار عشرة أضعاف، بمعني أننا نرجع من العشرات في أتجاه الآحاد وهكذا.
- الجزء العشري كما في هذا المثال0.481، مع الحركة في اتجاه اليمين تقل قيمة كل عدد من الأعداد بمقدار عشرة أضعاف، بمعنى أن قيمة العدد (٤)، هي جزء من العشرات 4/10.
- بينما قيمة العدد)٨) فهي جزء من المئات 8/100، قيمة العدد (١) هي جزء من الآلاف 1/1000.
شرحنا في هذا المقال ما هي الأعداد الحقيقية؟، عن مجموعات الأعداد الحقيقة وخصائص الأعداد الحقيقية وما هي الأعداد الحقيقية وما هي الأعداد الأولية وما هو العدد الصحيح وخواص القوى في الرياضيات.