بحث عن المصفوفات وانواعها
بحث عن المصفوفات وانواعها يُعتبر علم الرياضيات عامةً من العلوم المتسلسلة التي تتجه دائمًا للأمام، فهو علم تراكمي يعتمد بشكل كبير على ماضيه.
وهو يعتمد على العلاقات الهندسية والرقمية، فالرياضيات ليست مهارات حسابية فحسب؛ بل هي أداة يتم استخدامها في مجالات الحياة اليومية بصفة دائمة.
مقدمة بحث عن المصفوفات وأنواعها
كما نوهنا إلى علم الرياضيات كعلم؛ فيمكننا التحدث عن المصفوفات حيث أنها تعتبر جزء مهم من هذا العلم، فهي لها علاقة بالكثير من المجالات المهمة في حياتنا اليومية حيث يتم إدخالها بشكل مستمر في جميع المجالات الحياتية.
فتقوم عليها العديد من النظم الاقتصادية الموجودة في العالم، وتتمتع بالكثير من الخصائص، كما أن لها العديد من النظريات التي توضح وجودها وكيف يمكن استخدامها.
وأيضًا تلك النظريات توضح ما هي الخصائص التي تتميز بها المصفوفات وهذا ما سيتم توضيحه في سطور بحث عن المصفوفات وأنواعها.
شاهد أيضًا: بحث عن زوايا المضلع في الرياضيات
ما هي المصفوفات؟
- تعتبر المصفوفة ما هي إلا مجموعة مستطيلة تحتوي عدد من الأرقام، وليست الأرقام فقط .
- بل من الممكن أن تكون عبارة عن مجموعة مستطيلة من رموز الرياضيات المختلفة الأخرى.
- وبداخلها يتم تحديد العمليات الرياضية التي تُجرى فيها مثل الجمع أو الطرح أو الضرب.
- والمصفوفة الأكثر استخدامًا وشيوعًا في علم الرياضيات هي تلك المصفوفة التي تكون خاصة بالرمز س.
- والتي تكون عبارة عن مجموعة مستطيلة من المقاييس.
- وكل من تلك المصفوفات يكون عبارة عن عضو في س، ومعنى ذلك أن تلك العناصر.
- التي بداخل المصفوفة تكون إما أرقامًا حقيقية أو أرقامًا معقدة.
- وتكون الأرقام التي بداخل المصفوفة أو الرموز أو التعبيرات عبارة عن الإدخالات أو يمكن تسميتها بالعناصر.
- وتسمى بالخطوط الأفقية للإدخالات داخل المصفوفة باسم الصفوف.
- وتسمى أيضًا الخطوط العمودية للإدخالات بالأعمدة وكلًا منهما يكون بداخله العناصر سواء كانت الأرقام أو الرموز.
العمليات الرياضية للمصفوفات
- يمكن إجراء العديد من العمليات الرياضية للمصفوفة سواء كان بداخل المصفوفة الواحدة أو بين مصفوفتين.
- يمكن إجراء العديد من العمليات الرياضية من الضرب أو القسمة أو الجمع أو الطرح.
- حيث من الممكن إجراء عدد من العمليات الرئيسية على المصفوفات لتعديلها، وبإجراء تلك العمليات تسمى هذه المصفوفات مصفوفة الجمع.
- أو مصفوفة الضرب العددية، أو مصفوفة التبديل، أو مصفوفة عمليات الصف، أو ضرب المصفوفة.
ضرب المصفوفات
- يعرف ضرب اثنين من المصفوفات في حالة إذا كان عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساويًا لنفس عدد الصفوف في المصفوفة الثانية.
- فمثلًا إذا كانت هناك مصفوفة س عبارة عن مصفوفة أ*ب ومصفوفة ص عبارة عن مصفوفة ب*ج.
- فإن حاصل ضرب المصفوفتين يكون الناتج عنهما المصفوفة (س ص).
- حيث هي التي تكون عبارة عن أ*ج وتكون إدخالاتها على شكل منتج نقطي للصف المقابل من المصفوفة س والمطابقة عمود من المصفوفة ص.
- ومن خلال ذلك نستنتج أنه لا يمكن أن تتم عملية الضرب بين مصفوفتين إلا بشرط أن تكون المصفوفتين لهما نفس الحجم.
- بمعنى أن تكون المصفوفتين لهما نفس عدد الصفوف وعدد الأعمدة الموجودة في كليهما.
- كما أنه من الممكن إضافة مصفوفتين، أو إجراء عملية الطرح في العناصر، وبناءً على القاعدة المُتبعة في ضرب المصفوفات.
- والتي فيها لا يجوز ضرب مصفوفتين إلا في حالة تساوي عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مع عدد الصفوف في المصفوفة الثانية.
- وأيضًا لا يمكن إجراء ضرب المصفوفات إلا في حالة أن تكون الأبعاد الداخلية للمصفوفتين.
- هي نفسها حيث أن ب تكون بالنسبة لـلمصفوفة (أ*ب) والمصفوفة (ب*ج)، يكون (أ*ج) هو الناتج عنهما.
- والمصفوفة لا يكون لها ناتج في الاتجاه الآخر، مما يوضح ذلك أن تكاثر المصفوفات غير تبادلي.
- ومن الممكن أن يكون هناك تضاعف لأي مصفوفة.
- يكون ذلك عن طريق القيمة العددية من الصف، أو عن طريق العمود المقابل له في عملية الضرب.
- وذلك ما سوف نعرفه من خلال مضمون بحث عن المصفوفات وأنواعها.
عمليات الصف
عمليات الصف لها العديد من الأنواع؛ والتي يمكن حصرها في ثلاثة أنواع وهي كالتالي:
- إضافة صف؛ والذي يعني أن يتم إضافة صف إلى صف آخر.
- ضرب الصف؛ وفيه يتم ضرب كل إدخالات وعناصر الصف وذلك عن طريق عامل ثابت غير صفري.
- تبديل الصف؛ وفيه يتم التبديل بين صفين من المصفوفة.
- ويتم استخدام عمليات الصف بعدة أشكال مختلفة، حيث من الممكن استخدامها في حل المعادلات الخطية، أو استخدامها في إيجاد المصفوفات العكسية.
استخدام عمليات الصف في المعادلات الخطية
من الممكن استخدام نظام المعادلات الخطية في المصفوفات، وأيضًا يمكن استخدامه مع معادلات خطية متعددة.
فمثلًا إذا كانت س هي عبارة عن مصفوفة (أ*ب) من خلالها يتم تحديد متجه عمود وهو مصفوفة (ب*1) للمتغيرات ب 1X و2X وب X وهـ هي (س-x 1) ناقل العمود، ثم معادلة المصفوفة.
أنواع المصفوفات
هناك أنواع كثيرة للمصفوفات؛ فمن أنواع المصفوفات في الرياضيات ما يلي:
- المصفوفة المربعة: وتكون عبارة عن مصفوفة عادية يتساوى فيها عدد السطور مع عدد الأعمدة.
- المصفوفة المستطيلة: وهي عبارة عن مصفوفة عادية، وفيها يكون عدد الصفوف أكبر من عدد الأعمدة أو عدد الأعمدة أكبر من عدد الصفوف.
- والمصفوفة الواحدية: وتكون المصفوفة الواحدية عبارة عن مصفوفة مربعة فيها جميع العناصر.
- الموجودة بداخلها مساوية للصفر فيما عدا القطر الرئيسي حيث يكون مساويًا للصفر.
- المصفوفة القطرية: تكون تلك المصفوفة مربعة وجميع العناصر الموجودة بداخلها مساوية للصفر، وعناصر القطر الرئيسي لها قيم مختلفة.
- المصفوفة الثلاثية العليا: وهي عبارة عن مصفوفة مربعة جميع المدخلات الموجودة بها تحت القطر الرئيسي مساوية للصفر، والمدخلات الموجودة ضمن القطر الرئيسي والتي فوقه تكون ذات قيم مختلفة.
- والمصفوفة الثلاثية الدنيا: هي عبارة عن مصفوفة مربعة ولكنها في تكوينها عكس المصفوفة الثلاثية العليا.
- حيث تكون جميع العناصر الموجودة بداخلها فوق القطر الرئيسي مساوية للصفر، وعناصر القطر الرئيسي ومدخلاته التي تحته ذات قيم مختلفة.
- المصفوفة القطرية: وهنا تكون المصفوفة القطرية عبارة عن مصفوفة مربعة كل عناصرها صفر.
- ولكن عناصر القطر الرئيسي تكون ذات قيم مختلفة.
- مصفوفة العامود: تكون عبارة عن مصفوفة مستطيلة عدد أعمدتها يكون مساويًا للواحد.
- ومصفوفة الصف: تكون عبارة عن مصفوفة مستطيلة عدد صفوفها يكون مساويًا للواحد وهي عكس مصفوفة العامود.
وهناك أنواع أخرى أيضًا للمصفوفات وسوف نقوم بذكرها في بحث عن المصفوفات وأنواعها بالتفصيل وسنعرضها خلال السطور التالية في بحث عن المصفوفات وأنواعها.
شاهد أيضًا: بحث عن الأعمدة والمسافة في الرياضيات
مصفوفة قطرية وثلاثية
- وفي تلك المصفوفة مثلًا إذا كان جميع المدخلات وليكن س الموجودة تحت القطر الرئيسي مساوية للصفر، ففي هذه الحالة تسمى س مصفوفة مثلثة عليا.
- وأيضًا إذا كانت جميع المدخلات س الموجودة أعلى القطر الرئيسي مساوية للصفر، ففي هذه الحالة تكون س مصفوفة مثلثة سفلية.
- أما إذا كانت جميع المدخلات الموجودة خارج القطر الرئيسي مساوية للصفر فتكون المصفوفة س في هذه الحالة مصفوفة قطرية.
مصفوفة الهوية
- وتكون تلك المصفوفة ب هي مصفوفة الهوية في الحجم، وتكون عبارة عن مصفوفة (ب*ب).
- حيث جميع العناصر الموجودة بها في القطر الرئيسي مساوية للواحد، وجميع العناصر الباقية الأخرى مساوية للصفر.
مصفوفة التماثل
- هذه المصفوفة تكون متماثل المربعة س والتي تساوي نقلها، وذلك يعني أن سT=س، هي مصفوفة متماثلة.
- ولكن في حالة إذا كان س مساويًا لرقم سلبي ينقله، ثم تكون س هي عبارة عن مصفوفة متماثلة الانحراف.
- وفي المصفوفات المعقدة يكون التماثل مُستبدلًا بمفهوم المصفوفات الهرمية، وفي ذلك يكون *س=س.
- والنجمة هنا تعني التحويل المتزامن الذي حدث للمصفوفة، بمعنى أن يتم تبديل المرافقة المعقدة لـ س.
- ووفقًا للنظرية الطيفية؛ فتكون المصفوفات المتماثلة الحقيقية والمصفوفات الهرمية المعقدة تتمتع بمتلازمة القاعدة الخاصة.
- والتي تعني أن كل ناقل يكون عبارة عن مزيج خطي من المتجهات الذاتية.
- وفي جميع الحالات سواء كانت المتماثلة الحقيقية أو الهرمية المعقدة فتكون كل القيم الذاتية حقيقية.
- وهذه النظرية يتم تطبيقها على جميع المصفوفات التي تحتوي على عدد لا نهائي أو غير محدود من الصفوف والأعمدة.
- وبالنسبة للمصفوفة المتماثلة فتكون موجبة محدودة، أما إذا كانت جميع القيم الذاتية الموجودة بالمصفوفة موجبة.
- فذلك يعني أن المصفوفة في هذه الحالة تكون موجبة وشبه منتهية، وأيضًا تكون مصفوفة قابلة للانعكاس.
المصفوفة المقلوبة
- يمكن أن نطلق على المصفوفة المقلوبة اسم المصفوفة المعكوسة أيضًا أو المصفوفة المربعة س معكوسة.
- أو من الممكن أن تكون غير مفردة في حالة وجود مصفوفة ص من هذا النوع ص س= س ص=ب|.
- حيث هي عبارة عن مصفوفة هوية على الشكل (ب*ب) على القطر الرئيسي أو في مكان آخر، أما في حالة وجود المصفوفة ص.
- فتصبح مصفوفة فريدة من نوعها، ويتم تسميتها مصفوفة عكسية لـ س، أو س-1.
المصفوفة المتعامدة
تكون المصفوفة المتعامدة عبارة عن مصفوفة مربعة مدخلاتها أو عناصرها تكون حقيقية، وأعمدتها وصفوفها عبارة عن متجهات وحدة متعامدة.
بمعنى أن أعمدتها وصفوفها تكون عبارة عن متجهات متعامدة، وتكون المصفوفة س متعامدة في حالة إذا كان التبديل للمصفوفة يكون مساويًا للعكس.
استخدامات المصفوفات
يتم استخدام المصفوفات في العديد من المجالات العلمية، مثل:
يمكن استخدامه في جميع فروع الفيزياء، وجميع فروع الميكانيكا بما فيها الميكانيكا الكلاسيكية، والميكانيكا الكهرومغناطيسية، والديناميكا الكهربائية الكمية.
ويتم استخدام المصفوفات في دراسة الظواهر الفيزيائية المختلفة، ومن هذه الظواهر التي تساعد المصفوفات على دراستها حركة الأجسام الصلبة.
تساعد دراسة المصفوفات في المساعدة على تبسيط الحسابات من جميع النواحي سواء النظرية أو العملية.
يمكن استخدام المصفوفات في مجال الاقتصاد، حيث تقوم بعملية وصف لأنظمة العلاقات الاقتصادية.
ويمكن استخدامها أيضًا في حساب التفاضل، والتكامل المصفوف مثل المشتقات والأسس إلى أبعاد أعلى.
يمكن استخدامه في نظرية الاحتمالات، والإحصاءات، ومن الممكن استخدام مصفوفات عشوائية في كيفية وصف مجموعات من الاحتمالات، فمثلًا يمكن استخدامها في خوارزمية تصنيف الصفحات التي تدخل في بحث Google.
يمكن استخدامها في مجال الكمبيوتر من الرسومات، كما يمكن أن تدخل في معالجة النماذج ثلاثية الأبعاد، كما تساعد في عرض تلك الرسومات على شاشة ثنائية الأبعاد.
تدخل المصفوفات اللانهائية في نظرية الكواكب، وأيضًا النظرية الذرية، ومثال على المصفوفة اللانهائية المصفوفة التي تكون عبارة عن عامل مشتق.
وللمصفوفة العديد من الاستخدامات الكثيرة في حياتنا اليومية، حيث لا يمكن الاستغناء عن مجالها وفرعها في الرياضيات كما تبين من خلال عمل بحث عن المصفوفات وأنواعها.
كيفية حساب المصفوفة
من الممكن أن نقوم بحساب المصفوفة وفقًا لتقنيات كثيرة ومتنوعة، حيث أنها تستخدم في حل العديد من المشكلات وذلك من خلال الخوارزميات بشكل مباشر أو النهج المتكرر.
وأيضًا من خلال المتجهات الذاتية للمصفوفة المربعة من الممكن أن نأتي بتسلسل للنقالات، ويحدث ذلك عندما تتقارب وتتجه إلى المتجه الذاتي عند ميل قيم الصفوف إلى ما لا نهاية.
وليتم اختيار الخوارزمية الملائمة لحل مشكلة محددة لابد من تحديد فعالية ودقة جميع الخوارزميات المتاحة.
لحساب معكوس المصفوفة
يتم حساب محددة المصفوفة والتأكد من أنه لا يساوي صفرًا.
يتم حساب المصفوفة المرتبطة.
ثم بعد ذلك يتم حساب المعكوس.
خواص معكوس المصفوفة
الناتج عن معكوس حاصل ضرب مصفوفتين غير شاذتين يكون مساويًا لناتج ضرب معكوس كلًا من المصفوفتين.
معكوس تدوير المصفوفة يكون مساويًا لمدور معكوس المصفوفة.
العمليات على المصفوفات
الجمع
تتمتع عملية الجمع في المصفوفات بالإبدال، حيث أنه لأي مصفوفتين س و ص لهما نفس الحيز، في تلك الحالة يتم تحقيق عملية التبادل بحيث يكون س + ص= ص + س، ومن هذا فإن عملية الجمع لا يلزمها ترتيب في العناصر.
الدمج
عندما يكون هناك ثلاث مصفوفات س و ص و ع لهما نفس الحيز، في تلك الحالة يتم تحقيق علاقة الدمج والتي تكون عبارة عن:
س + (ص+ع) = (س+ع) + ص
وهذه الخاصية توضح أنه من الممكن أن يتم جمع أكثر من مصفوفتين لهما نفس الحيز، ولكن لا يكون الترتيب مهمًا.
وجود المحايد الجمعي
يُعتبر المحايد الجمعي هو ذلك العنصر الذي إذا تم جمعه على عنصر آخر لا يحدث أي تغيير في قيمة العنصر الأخير.
والمصفوفة الصفرية هي التي تقوم بذلك الدور في المصفوفات، كما أن المحايد الجمعي بالنسبة للأعداد هو عبارة عن عنصر وحيد وهو الصفر، وهذه المصفوفة الصفرية هي ليست بمصفوفة واحدة ولكن تلك المصفوفة تختلف وتتباين باختلاف الحيز.
وجود المعكوس الجمعي
يُعتبر المعكوس الجمعي في علم الجبر لعنصر ما هو إلا إذا تم جمعه على عنصر آخر ينتج عنه المحايد الجمعي.
والمحايد الجمعي في المصفوفات يكون عبارة عن مصفوفة أخرى من نفس الحيز ولكن تكون بإشارة مختلفة لجميع العناصر الموجودة بداخل المصفوفة.
شاهد أيضًا: موضوع عن الهندسة الفراغية في الرياضيات
خاتمة بحث عن المصفوفات وأنواعها
وفي نهاية بحث عن المصفوفات وأنواعها بذلك نكون قد انتهينا من الحديث عن ماهية المصفوفات وكيف يتم استخدامها وما الصفات التي تتمتع بها المصفوفات، وما هي أنواعها وكيف يمكن حسابها, نتمنى أن يكون البحث وافيًا.