الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية

الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية، إن أهم استخدام للجبر الخطي للاقتصاديين هو التعامل مع النماذج الاقتصادية القياسية الخطية، كما يعد الاستخدام الرئيسي الثاني للجبر الخطي لطلاب الاقتصاد، بمثابة أساس لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والتحسين.

وهناك بالطبع العديد من الاستخدامات الأخرى للجبر الخطي، وسيكون حديثنا اليوم بصددها؛ فتابعوا موقع مقال للتعرف على الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية.

الجبر الخطي

الجبر الخطي هو فرع الرياضيات المتعلق بالمعادلات الخطية مثل:

a₁x₁ + … + a_nx_n = b

والخرائط الخطية مثل:

x₁,…,x_n)  a₁x₁ + … +a_nx_n)

وتمثيلاتها في الفراغات المتجهة ومن خلال المصفوفات.

الجبر الخطي أساسي لجميع مجالات الرياضيات تقريبًا، على سبيل المثال، يعد الجبر الخطي أمرًا أساسيًا في العروض التقديمية الحديثة للهندسة.

بما في ذلك تحديد الكائنات الأساسية مثل الخطوط والطائرات والدوران، أيضًا، يمكن اعتبار التحليل الوظيفي.

وهو فرع من فروع التحليل الرياضي، في الأساس، تطبيقًا للجبر الخطي على فراغات الوظائف.

يستخدم الجبر الخطي أيضًا في معظم مجالات العلوم والهندسة، لأنه يمكنه نموذجة العديد من الظواهر الطبيعية، ويمكنه استخدام هذه النماذج لإجراء حسابات فعالة.

وفيما يتعلق بالأنظمة غير الخطية التي لا يمكن نموذجيتها عن طريق الجبر الخطي، فإنه يتم استخدامها عادةً للتعامل مع التقديرات التقريبية من الدرجة الأولى.

لأن تمايز دالة متعددة المتغيرات في نقطة ما هو أفضل تعيين خطي.

شاهد أيضًا: الإدارة المالية والتمويل

نبذة تاريخية عن الجبر الخطي

يظهر إجراء حل المعادلات الخطية المتزامنة التي تسمى الآن الحذف الغاوسي في النص الرياضي الصيني القديم الفصل الثامن.

المصفوفات المستطيلة للفصول التسعة في الفن الرياضي، يتضح استخدامه في ثمانية عشر مشكلة، مع معادلات من اثنين إلى خمسة.

نشأت أنظمة المعادلات الخطية في أوروبا مع تقديم الإحداثيات في الهندسة في عام 1637م بواسطة رينيه ديكارت.

في الواقع، في هذه الهندسة الجديدة، التي تسمى الآن الهندسة الديكارتية، يتم تمثيل الخطوط، والمستويات بالمعادلات الخطية، ويصل حساب التقاطعات إلى حل أنظمة المعادلات الخطية.

استخدمت الطرق المنهجية الأولى لحل الأنظمة الخطية المحددات، والتي درسها لايبنيز لأول مرة في عام 1693م.

وفي عام 1750م، استخدمها غابرييل كرامر لإعطاء حلول صريحة للأنظمة الخطية، والتي تسمى الآن قاعدة كرامر.

وفي وقت لاحق، وصف جاوس طريقة الإزالة، والتي تم إدراجها في البداية على أنها تقدم في الجيوديسيا.

في عام 1844م نشر هيرمان جراسمان “نظرية الامتداد” التي تضمنت موضوعات تأسيسية جديدة لما يسمى اليوم بالجبر الخطي.

وفي عام 1848م، قدم جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح المصفوفة، وهو لاتيني يعني الرحم.

علاقة الجبر الخطي بالهندسة

هناك علاقة قوية بين الجبر الخطي والهندسة، والتي بدأت بإدخال الإحداثيات الديكارتية بواسطة رينيه ديكارت في عام 1637م.

وفي هذه الهندسة الجديدة (في ذلك الوقت)، التي تسمى الآن الهندسة الديكارتية، يتم تمثيل النقاط بواسطة الإحداثيات الديكارتية.

وهي عبارة عن تسلسلات من ثلاثة أرقام حقيقية (في حالة الفضاء ثلاثي الأبعاد المعتاد).

كما يتم تمثيل الكائنات الأساسية للهندسة، وهي الخطوط والمستويات بالمعادلات الخطية.

وبالتالي، فإن حساب تقاطعات الخطوط والمستويات يرقى إلى حل أنظمة المعادلات الخطية، وكان هذا أحد الدوافع الرئيسية لتطوير الجبر الخطي.

تعمل معظم التحولات الهندسية، مثل الترجمات والدورات والانعكاسات والحركات الجامدة، والتساوي القياس والإسقاطات، على تحويل الخطوط إلى خطوط.

ويترتب على ذلك أنه يمكن تعريفها وتحديدها ودراستها من حيث الخرائط الخطية، هذا هو الحال أيضًا في حالة التجانس وتحولات موبيوس، عند اعتبارها تحولات لمساحة إسقاطية.

حتى نهاية القرن التاسع عشر، كانت المسافات الهندسية تُعرَّف بالبديهيات المتعلقة بالنقاط، والخطوط والمستويات (الهندسة التركيبية).

في هذا التاريخ تقريبًا، ظهر أنه يمكن للمرء أيضًا تعريف المساحات الهندسية من خلال الإنشاءات التي تتضمن مسافات متجهة.

(انظر، على سبيل المثال، الفضاء الإسقاطي والفضاء الأفيني) وقد ثبت أن الطريقتين متساويتان أساسًا.

في الهندسة الكلاسيكية، تكون المساحات المتجهة المعنية عبارة عن مسافات متجهة فوق الواقع، ولكن قد تمتد الإنشاءات إلى مسافات متجهة فوق أي حقل.

مما يسمح بالنظر في الهندسة على الحقول التعسفية، بما في ذلك الحقول المحدودة.

كما يقدم هذا القسم العديد من الموضوعات ذات الصلة، التي لا تظهر بشكل عام في الكتب المدرسية الابتدائية حول الجبر الخطي.

ولكنها تعتبر بشكل عام، في الرياضيات المتقدمة، كأجزاء من الجبر الخطي، ومن الأمثلة عليها، ما يلي:

• نظرية الفضاء الحلقي – Module theory
• الجبر متعدد الخطية والمُوَتِّر – Multilinear algebra and tensors
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي – Topological vector spaces
• الجبر التماثلي – Homological algebra

الاستخدام والتطبيقات للجبر الخطي

يُستخدم الجبر الخطي في جميع مجالات الرياضيات تقريبًا، مما يجعله وثيق الصلة بجميع المجالات العلمية التي تستخدم الرياضيات تقريبًا، يمكن تقسيم هذه التطبيقات إلى عدة فئات واسعة.

هندسة الفضاء المحيط

تعتمد نموذجة الفضاء المحيط على الهندسة، والعلوم المعنية بهذا الفضاء تستخدم الهندسة على نطاق واسع.

وهذا هو الحال مع الميكانيكا والروبوتات لوصف ديناميات الجسم الصلبة، الجيوديسيا لوصف شكل الأرض.

المنظور ورؤية الكمبيوتر والرسومات الحاسوبية لوصف العلاقة بين المشهد وتمثيله المستوي، والعديد من المجالات العلمية الأخرى.

في جميع هذه التطبيقات، غالبًا ما تُستخدم الهندسة التركيبية للأوصاف العامة والنهج النوعي، ولكن لدراسة المواقف الواضح.

فيجب على المرء أن يحسب باستخدام الإحداثيات، وهذا يتطلب الاستخدام المكثف للجبر الخطي.

اخترنا لك: مفهوم الاقتصاد وانواعه

التحليل الوظيفي

دراسات التحليل الوظيفي الفراغات الوظيفية؛ هذه مسافات متجهة، ذات بنية إضافية  مثل مساحات هيلبرت.

وبالتالي فإن الجبر الخطي هو جزء أساسي من التحليل الوظيفي وتطبيقاته، والتي تشمل على وجه الخصوص ميكانيكا الكم (وظائف الموجة).

دراسة الأنظمة المعقدة

يتم نموذجة معظم الظواهر الفيزيائية بواسطة معادلات تفاضلية جزئية، ولحلها، عادةً ما يحلل المرء المساحة.

التي يتم فيها البحث عن الحلول إلى خلايا صغيرة متفاعلة بشكل متبادل،  وبالنسبة للأنظمة الخطية، يتضمن هذا التفاعل وظائف خطية.

وبالنسبة للأنظمة غير الخطية، غالبًا ما يتم تقريب هذا التفاعل بوظائف خطية، وفي كلتا الحالتين.

كما يتم تضمين المصفوفات الكبيرة جدًا بشكل عام، كما يُعد التنبؤ بالطقس مثالًا نموذجيًا.

حيث ينقسم الغلاف الجوي للأرض بأكمله إلى خلايا يبلغ عرضها 100 كم، وارتفاعها 100 متر على سبيل المثال.

الحساب العلمي

تتضمن جميع الحسابات العلمية تقريبًا الجبر الخطي؛ وبالتالي، تم تحسين خوارزميات الجبر الخطي بشكل كبير، ويعد كل من BLAS وLAPACK أفضل التطبيقات المعروفة.

ولتحسين الكفاءة، يقوم بعضهم بتكوين الخوارزميات تلقائيًا، وفي وقت التشغيل، لتكييفها مع خصوصيات الكمبيوتر (حجم ذاكرة التخزين المؤقت، عدد النوى المتاحة، …).

تم تصميم بعض المعالجات، عادةً وحدات معالجة الرسومات (GPU)، بهيكل مصفوفة لتحسين عمليات الجبر الخطي.

تطبيق الجبر الخطي في الاقتصاد

الجبر الخطي له مجال هائل من التطبيقات؛ كن على علم أن بعض النماذج الاقتصادية، تستخدم المعادلات التفاضلية والفرق للتنبؤ بمستويات السوق أو لتحسين الأرباح.

لذلك، فإن الجبر الخطي متورط في حلول هذه المعادلات، أو حتى في اكتساب الشروط لحل مثل هذه المشاكل.

وتعتمد معظم النظرية الرياضية الخطية على الجبر الخطي، لذلك لا توجد طريقة للهروب منها.

ونظرًا لأننا نميل إلى وضع خطي للمسائل كلما أمكننا ذلك (حيث أصبح حلها أسهل)، فإننا نقوم باستخدام الجبر الخطي في الاقتصاد.

تطبيقات تخصيص الرياضيات للجبر الخطي في الاقتصاد بواسطة أميت جارج، والاقتصاد هو فرع المعرفة المعني بإنتاج الثروة واستهلاكها ونقلها.

ويمكن تقريب العديد من العلاقات الاقتصادية من خلال المعادلات الخطية، ويمكن تحويل العلاقات الأخرى إلى علاقات خطية.

لذا فإن تحليل العديد من النماذج الاقتصادية يختصر دراسة أنظمة المعادلات الخطية، والعلاقة بين الجبر الخطي والاقتصاد

وافضل الأمثلة على تطبيقات الجبر الخطي في الاقتصاد هو: نموذج Leontiff Input-Output، وهو نموذج يُظهر الترابط بين مختلف فروع الاقتصاد.

والذي طوره Wassily Leontief، حيث قام بتقسيم الاقتصاد إلى قطاعات مختلفة مثل: صناعة الفحم، الصناعة الزراعية، الصناعة التحويلية، إلخ.

كما قام باستخدام المعادلة الخطية لكل قطاع، وكتب معادلة خطية تصف، كيف يوزع القطاع الناتج على القطاعات الأخرى.

قد يهمك: موضوع تعبير عن الاقتصاد الرقمي

في نهاية مقال الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية، يعد الجبر الخطي هامًا للغاية في الاقتصاد مثل، حيث يدور الاقتصاد الحديث حول البيانات، لذا فإن أشياء مثل الاقتصاد القياسي ضرورية، بالإضافة إلى اهتمامه بتذكير أساس التحليل، وأكثر من ذلك بكثير.