الرسم البياني في الرياضيات
الرسم البياني في الرياضيات، في الرياضيات، وبشكل أكثر تحديدًا في نظرية الرسم البياني، فإن الرسم البياني هو بنية تصل إلى مجموعة من الكائنات.
كما تكون فيها بعض أزواج الكائنات “مرتبطة” بمعنى ما، تابعوا موقع مقال للتعرف على الرسم البياني في الرياضيات.
الرسم البياني
عادةً ما يتم تصوير الرسم البياني (بالإنجليزية: Graph) في شكل تخطيطي كمجموعة من النقاط أو الدوائر للرؤوس، متصلة بخطوط أو منحنيات للحواف.
كما أن الرسوم البيانية هي أحد عناصر الدراسة في الرياضيات المنفصلة، قد تكون الحواف موجهة أو غير موجهة.
على سبيل المثال
إذا كانت هذه الرؤوس تتمثل على هيئة أفراد متواجدين في حفلة ما، وكانت هناك حافة بين شخصين إذا تصافحا.
فإن هذا الرسم البياني غير موجه، وذلك لأن أي فرد “أ” من الممكن أن يصافح فرد “ب” فقط إذا صافح “ب” أيضًا الفرد “أ”.
وفي المقابل، إذا كانت أي حافة من فرد “أ” إلى شخص “ب” تتوافق مع الإعجاب “أ” من “ب”، فسيتم توجيه هذا الرسم البياني.
وهذا لأن الإعجاب ليس بالضرورة بالمثل أو كونه متبادلاً، والنوع السابق من الرسم البياني يسمى الرسم البياني غير الموجه.
بينما النوع الأخير من الرسم البياني يسمى الرسم البياني الموجه.
الرسوم البيانية
هي الموضوع الأساسي الذي تدرسه نظرية الرسم البياني، وكان استخدام كلمة “رسم بياني” بهذا المعنى لأول مرة من قبل جيمس جوزيف سيلفستر، وهذا في عام 1878م.
شاهد أيضًا: ما هي أنواع الفنون السبعة في الرسم
تعريف الرسم البياني وأنواعه
تختلف التعريفات في نظرية الرسم البياني؛ وفيما يلي بعض الطرق الأساسية، لتعريف الرسوم البيانية، والهياكل الرياضية ذات الصلة:
الرسم البياني
الرسم البياني هو زوج (G = (V، E، حيث V عبارة عن مجموعة، تسمى عناصرها الرؤوس (مفرد: قمة)، وE.
هي مجموعة من مجموعتين (مجموعات تحتوي على عنصرين مميزين) من الرؤوس، تسمى عناصرها الحواف (أحيانًا روابط أو خطوط).
تسمى الرؤوس x وy للحافة {x، y} بنقطتي نهاية الحافة، ويُقال إن الحافة تربط x وy، وأن تكون حادثًا في x وy، وقد لا ينتمي الرأس إلى أي حافة.
الرسم البياني المتعدد
وهو تعميم يسمح للحواف المتعددة بأن يكون لها نفس زوج نقاط النهاية، وفي بعض النصوص، تسمى الرسوم البيانية المتعددة ببساطة الرسوم البيانية.
في بعض الأحيان، يُسمح للرسوم البيانية بأن تحتوي على حلقات، وهي عبارة عن حواف تربط الرأس بذاته، للسماح بالحلقات.
كما يجب تغيير التعريف أعلاه من خلال تعريف الحواف، على أنها مجموعات متعددة من رأسين بدلاً من مجموعتين.
تسمى هذه الرسوم البيانية المعممة الرسوم البيانية ذات الحلقات أو الرسوم البيانية ببساطة، عندما يكون واضحًا من السياق أن الحلقات مسموح بها.
الرسم البياني الفارغ
هو رسم بياني يحتوي على مجموعة فارغة من الرؤوس (وبالتالي مجموعة فارغة من الحواف).
فإن ترتيب الرسم البياني هو عدد الرؤوس | V |، وحجم الرسم البياني هو عدد حوافه | E |.
ومع ذلك، في بعض السياقات، مثل التعبير عن التعقيد الحسابي للخوارزميات، يكون الحجم | V | + | E |.
(خلاف ذلك، يمكن أن يكون للرسم البياني غير الفارغ حجم 0).
كما أن درجة أو تكافؤ الرأس هو عدد الحواف الواقعة عليه، وبالنسبة للرسوم البيانية ذات الحلقات، يتم حساب الحلقة مرتين.
الرسم البياني الموجه
الرسم البياني الموجه هو رسم بياني تكون فيه الحواف ذات اتجاهات، في أحد الحس المقيد.
ولكن الشائع جدًا للمصطلح، [8] الرسم البياني الموجه هو زوج مرتب (G = (V، E يتألف من:
- V، مجموعة من القمم (تسمى أيضًا العقد أو النقاط)، مجموعة من الحواف.
- (تسمى أيضًا الحواف الموجهة، الروابط الموجهة، الخطوط الموجهة، الأسهم أو الأقواس).
- وهي أزواج مرتبة من الرؤوس (أي، ترتبط الحافة برأسين متميزين).
الرسم البياني المختلط
الرسم البياني المختلط هو رسم بياني قد يتم توجيه بعض الحواف فيه، وقد يكون البعض الآخر غير موجه.
وهو عبارة عن ثلاثية مرتبة (G = (V، E، A لرسم بياني بسيط مختلط و(G = (V، E، A، ϕE ، ϕA لرسم متعدد مختلط مع V E (الحواف غير الموجهة)، A ( حواف موجهة).
الرسم البياني الموزون
الرسم البياني الموزون أو الشبكة، وهو رسم بياني يتم فيه تعيين رقم (الوزن) لكل حافة.
وقد تمثل هذه الأوزان على سبيل المثال التكاليف أو الأطوال أو القدرات، اعتمادًا على المشكلة المطروحة.
وتظهر مثل هذه الرسوم البيانية في العديد من السياقات، على سبيل المثال في أقصر طريق مشاكل مثل مشكلة بائع متجول.
أنواع الرسم البياني
رسم بياني موجه
- الرسم البياني الموجه هو رسم بياني موجه يمكن أن يكون فيه أحد (x، y) و(x، y) على الأكثر من حواف الرسم البيانيP.
- أي أنه رسم بياني موجه يمكن تشكيله كاتجاه لرسم بياني غير موجه.
رسم بياني منتظم
- الرسم البياني المنتظم هو رسم بياني لكل رأس فيه نفس عدد الجيران، أي أن كل رأس له نفس الدرجة.
- كما يسمى الرسم البياني المنتظم برؤوس الدرجة k بالرسم البياني المنتظم k ‑ أو الرسم البياني المنتظم للدرجة k.
رسم بياني كامل
- الرسم البياني الكامل هو رسم بياني يتم فيه ربط كل زوج من الرؤوس بحافة، ويحتوي الرسم البياني الكامل على جميع الحواف الممكنة.
رسم بياني محدود
- الرسم البياني المحدود هو رسم بياني تكون فيه مجموعة الرأس ومجموعة الحافة مجموعات محدودة، خلاف ذلك، يطلق عليه الرسم البياني اللانهائي.
رسم بياني متصل
- في الرسم البياني غير الموجه، يسمى زوج غير مرتب من الرؤوس {x، y} متصل إذا كان المسار يؤدي من x إلى y، خلاف ذلك، يسمى الزوج غير المرتب غير متصل.
- والرسم البياني المتصل هو رسم بياني غير موجه يتم فيه توصيل كل زوج من الرؤوس غير المرتبة في الرسم البياني، خلاف ذلك، يطلق عليه رسم بياني غير متصل.
تابع أيضًا: علم الفيزياء وارتباطه بالعلوم الأخرى
ومن الأنواع الأخرى
- رسم بياني ثنائي.
- أيضًا رسم بياني للمسار.
- رسم بياني مستوي.
- كذلك رسم بياني للدورة.
خصائص الرسوم البيانية
- تسمى حافتا الرسم البياني متجاورتان، إذا كانا يشتركان في رأس مشترك.
- يتم تحديد الرسوم البيانية ذات الملصقات المرفقة بالحواف أو الرؤوس على أنها مصنفة.
- فئة جميع الرسوم البيانية هي فئة الشرائح Set ↓ D حيث D: Set → Set هي الممتع الذي يأخذ مجموعة s إلى s × s.
أمثلة
- الرسم البياني هو تمثيل تخطيطي للرسم البياني ذي الرؤوس {V= {1, 2, 3, 4, 5, 6 والحواف {{E= {{1, 2}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 4}, {4, 5}, {4, 6.
- تحدد العلاقة الثنائية R على مجموعة X رسمًا بيانيًا موجهًا، والعنصر x في X هو سلف مباشر للعنصر y لـ X إذا وفقط إذا كان xRy.
- يمكن للرسم البياني الموجه أن يصوغ نماذج لشبكات المعلومات مثل Twitter، مع مستخدم واحد يتبع الآخر.
- يتم إعطاء أمثلة منتظمة بشكل خاص للرسوم البيانية الموجهة، بواسطة الرسوم البيانية كايلي للمجموعات، التي تم إنشاؤها بدقة.
- بالإضافة إلى الرسوم البيانية لجوز شرير.
- في نظرية الفئة، تحتوي كل فئة صغيرة على رسم بياني متعدد موجه أساسي تكون رؤوسه كائنات الفئة، وتكون حوافها هي أسهم الفئة، في لغة نظرية التصنيف.
- كما يقول المرء أن هناك عاملًا منسيًا من فئة الفئات الصغيرة إلى فئة الارتعاشات.
التعميمات
- في الرسم البياني التشعبي، يمكن أن تصل الحافة إلى أكثر من رأسين.
- يمكن النظر إلى الرسم البياني غير الموجه على أنه معقد بسيط يتكون من 1 مبسطة (الحواف)، و0 مبسطة (الرؤوس)، وعلى هذا النحو.
- فإن المجمعات هي تعميمات الرسوم البيانية لأنها تسمح بتبسيط أبعاد أعلى.
- كل رسم بياني يؤدي إلى matroid.
- في نظرية النموذج، الرسم البياني هو مجرد بنية، لكن في هذه الحالة، لا توجد قيود على عدد الحواف: يمكن أن يكون أي عدد أساسي.
- أيضًا في علم الأحياء الحسابي، يقدم تحليل الرسم البياني للطاقة الرسوم البيانية للطاقة، كتمثيل بديل للرسوم البيانية غير الموجهة.
- كذلك في أنظمة المعلومات الجغرافية، يتم نموذجة الشبكات الهندسية بشكل وثيق بعد الرسوم البيانية
- أيضًا تستعير العديد من المفاهيم من نظرية الرسم البياني، لإجراء التحليل المكاني على شبكات الطرق أو شبكات المرافق.
تابع أيضًا: الفيزياء الحيوية وتطبيقاتها
كانت هذه نبذة عن الرسم البياني في الرياضيات، نرجو ان يكون المحتوى أفادكم، ونال رضاكم، وللمزيد من المواضيع الرياضية الأخرى، قوموا بزيارة قسم الرياضيات التابع لموقع مقال.