كيفية حساب مساحة المخروط

المخروط هو أحد الأشكال هندسية، وهو ثلاثي الأبعاد ذو قاعدة مسطحة دائرية، وله ضلع يلتف بشكل دائري حول القاعدة، وله رأس مدبب، فيمكن صنع المخروط من خلال تدوير المثلث.

أنواع المخروط

1- المخروط الدائري القائم Right Cone

وهو المخروط الذي يتقابل رأسه مع مركز القائمة بشكل تام، أي أنه يكون على استقامة معه، ويتكون من قاعدة دائرية، ومركز القاعدة، ومحور عمودي يربط بين مركز القاعدة ورأس المخروط، ويصنع المحور زاوية قائمة مع قاعدة المخروط، ولذلك سمي هذا النوع بالمخروط القائم.

شاهد أيضًا: موضوع تعبير عن مساحة المعين

2-المخروط المائل Oblique Cone

وهو المخروط الذي لا يستقيم رأسه مع مركز القاعدة، أي لا تقع رأس المخروط مقابل رأس قاعدته تمامًا، ويتكون هذا النوع من قاعدة دائرية ويكون مائل الشكل بحيث لا يشكل زاوية قائمة مع قاعدة المخروط، ولذلك سمي بالمخروط المائل.

والجدير بالذكر أن القوانين الخاصة بحساب حجم المخروط الدائري القائم يمكن أيضًا استخدامها في حساب حجم المخروط المائل.

3-المخروط الناقص Truncated Cone

وهو النوع الذي ينتج عن قطع الجزء العلوي بشكل موازي للقاعدة، فينتج عن ذلك إزالة رأس المخروط، ويتم التعبير عن ذلك المخروط باستخدام الأبعاد التالية:

  • الارتفاع Height: وهو العمود المستقيم الذي يصل بين منتصف القاعدة العلوية (التي تنتج عن قطع رأس المخروط) مع القاعدة السفلية.
  • نصف القطر Radius: وهو ما يعبر عن نصف القطر للقاعدة العلوية ونصف القطر للقاعدة السفلية وعادة ما يكونا مختلفان.
  • الارتفاع الجانبي Slant Height: وهو أقصر مسافة ممكنة بين حافة القاعدة السفلية وحافة القاعدة العلوية.

خصائص المخروط

  • يحتوي على وجه واحد وهو القاعدة الدائرية، ورأس واحد، ولكن لا يحتوي على أي زوايا أو حواف.
  • يمكن معرفة عرض المخروط عن طريق حساب قطر القاعدة الدائرية.
  • للمخروط ثلاثة أبعاد، وهي:
  1. الارتفاع Altitude وهو العمود القائم بين رأس المخروط ومركز قاعدته.
  2. نصف قطر المخروط Radius وهو يمثل نصف قطر قاعدة المخروط الدائرية.
  3. المائل Slant Height وهو المسافة بين رأس المخروط وأي نقطة على محيط القاعدة الدائرية للمخروط.

كيفية حساب مساحة المخروط

لكي يتم حساب مساحة المخروط يجب في البداية الإشارة إلى بعض المفاهيم الضرورية وفهمها بشكل تام، وهي:

  • الارتفاع: وهو العمود القائم بين مركز القاعدة الدائرية، وبين الرأس المدبب للمخروط، بحيث يصنع زاوية قائمة مع القاعدة الدائرية.
  • نصف القطر: وهو المسافة من مركز القاعدة الدائرية ومحيطها.
  • الارتفاع الجانبي أو المائل: وهو المسافة بين أي نقطة على محيط القاعدة الدائرية وحتى الرأس المدبب.

يتم تعريف مساحة المخروط أنها عدد من الوحدات المربعة والتي تغطي المخروط من الخارج، وعندما يتم حساب مساحة أو حجم المخروط فإنه يتم تطبيق القوانين على المخروط القائم وليس المخروط المائل.

فالمخروط القائم هو الذي يمتلك قاعدة دائرية، ويكون الخط الواصل بين رأس المخروط ومركز القاعدة عموديا على القاعدة، فيمكن إيجاد مساحة المخروط الكلية من خلال إيجاد مجموع المساحة الجانبية للمخروط مع مساحة القاعدة.

ومساحة القاعدة هي التي تمثل مساحة الدائرة، فالقاعدة تكون دائرية الشكل، وهي تساوي (π× نق2)، نق تعني نصف القطر.

المساحة الجانبية وتساوي (π× نصف القطر× طول المائل أو الارتفاع الجانبي).

ويمكن حساب الارتفاع الجانبي أو طول المائل للمخروط من خلال استخدام القانون التالي: الارتفاع الجانبي للمخروط = (مربع الارتفاع + مربع نصف القطر).

مما سبق نستنتج أن المساحة الكلية للمخروط هي ما يلي:

المساحة الكلية للمخروط= المساحة الجانبية + مساحة القاعدة، وهي كالتالي:

المساحة الكلية للمخروط= π×نق×ل + π×نق2، أي تساوي

المساحة الكلية للمخروط= π×نق2+ π×نق ×(ع2+نق2) √.

وبأخذ πنق كعامل مشترك فتصبح المعادلة كالتالي:

المساحة الكلية للمخروط = π×نق×(نق+(ع2+نق) √

حيث أن:

π: هو ثابت عدد، وقيمته العددية 22/7، 3.14.

نق: هو نصف قطر القاعدة الدائرية للمخروط.

ع: هو ارتفاع المخروط.

ل: هو طول المائل أو الارتفاع الجانبي للمخروط.

شاهد أيضًا: موضوع عن مساحة المربع

قانون حساب مساحة المخروط الناقص

الارتفاع الجانبي (ل): ويساوي: ل²= ع²+ (نق1 -نق2) ²، ومنه: ل= (ع²+(نق1-نق2) ²) √.

المساحة الجانبية للمخروط الناقص= π×(نق1+نق2) ×ل

مساحة المخروط الناقص= π×(ل×(نق1+نق2) + (نق1) ²+ (نق2) ²).

حجم المخروط الناقص= (1/3) ×π×ع×((نق1) ²+(نق2) ²+ (نق1×نق2))؛ حيث:

نق1: نصف قطر القاعدة السفلية.

نق2: نصف قطر القاعدة العلوية.

ل: المائل أو الارتفاع الجانبي للمخروط الناقص.

π: الثابت باي، وهو ثابت عددي قيمته 3.14، أو 22/7.

ع: ارتفاع المخروط الناقص.

أمثلة على حساب مساحة المخروط

المثال الأول

ما هي مساحة المخروط الذي ارتفاعه 8وحدات، ونصف قطره 6 وحدات؟

الحل: مساحة المخروط = π×نق×(نق+(ع²+نق²) √، ويمكن حسابها كما يلي: مساحة المخروط = ((8²+6²) √+6) ×π×6 ومنه: مساحة المخروط=π×96 سم².

المثال الثاني

مخروط ناقص قطر قاعدته العلوية 2سم، وقطر قاعدته السفلية 6سم، وارتفاعه 10 سم، فما هي قيمة كلٍّ من: مساحته الجانبية، ومساحته الكلية، وحجمه؟

الحل: لإيجاد كل من المساحة الجانبية، والمساحة الكلية فإنه يجب أولًا إيجاد الارتفاع الجانبي (ل)، وذلك كما يلي: حساب الارتفاع الجانبي، وذلك كما يلي: ل=(ع²+(نق1-نق2)) ²√= 10² + (6-2)²√ = 10.77سم.

المساحة الجانبية للمخروط الناقص = π×(نق1+نق2) ×ل، وبالتالي: المساحة الجانبية للمخروط الناقص= 3.14×(6+2) × 10.77= 270.69 سم².

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + π×(نق1) ² + π×(نق2) ²، وبالتالي: المساحة الكلية = 270.69 + (3.14×6²+3.14×2²) = 396.35 سم².

حجم المخروط = (1/3) ×π×ع×((نق1) ²+ (نق2)²+ (نق1×نق2))، وبالتالي: حجم المخروط = (1/3)×3.14×10×(6²+2²+(6×2)) = 544 سم³.

المثال الثالث

ما هي المساحة الكلية لمخروط نصف قطره 6م، وطول ارتفاعه الجانبي 10م؟

الحل: مساحة المخروط = π×نق²+ π×نق×ل، ويمكن حسابها كما يلي: مساحة المخروط = 3.14×6²+3.14×6×10= 301.44م².

المثال الرابع

مخروط دائري قطر قاعدته 3√4، والزاوية المحصورة بين الارتفاع، والارتفاع الجانبي تساوي 30 درجة، فما هي مساحة المخروط الكلية؟

الحل: مساحة المخروط الكلية = π×نق×(نق+ل)، ولحسابها فإننا نحتاج إلى قيمة كل من: نصف القطر، والارتفاع الجانبي ويمكن حسابهما كما يلي:

حساب نصف القطر عن طريق قسمة القطر على 2؛ نصف القطر= القطر/2= 3√4/ 2 ويساوي 3√2 سم.

حساب الارتفاع الجانبي، وهو يمثل الوتر في المثلث قائم الزاوية الذي يشكل نصف القطر فيه إحدى الساقين، والارتفاع الساق الأخرى، والارتفاع الجانبي الوتر، وبتطبيق قانون جيب الزاوية: جا (س)= المقابل/ الوتر، ينتج أن: جا (30) = 3√2/ ل، ومنه ل=3√4 سم.

تعويض القيم السابقة في قانون مساحة المخروط الكلية لينتج أن: مساحة المخروط الكلية = π×نق×(نق+ل) = 3.14×3√2×(3√2+3√4) = 113.04 سم².

المثال الخامس

إذا كان حجم مخروط دائري قائم 9856سم3، وقطر قاعدته (ق) هو 28سم، فما هو ارتفاعه (ع)، وارتفاعه الجانبي (ل)، ومساحته الجانبية؟

 الحل: حجم المخروط = (1/3) ×π×نق²×ع، ومنه يمكن إيجاد الارتفاع كما يلي: بما أن القطر = 28سم، فإن نصف القطر (نق) = القطر/2 = 14سم.

بالتعويض في قانون الحجم فإن: 9856 = (1/3) ×22/7ײ14×ع، ومنه: الارتفاع = (9856×3×7) /(22×14×14)، ومنه: الارتفاع = 48سم. الارتفاع الجانبي = (نق²+ع²) √، وبالتالي: ل = 14² + 48²√= 50سم. المساحة الجانبية = π×نق×ل، وبالتالي: المساحة الجانبية = 22/7 × 14 × 50= 2200سم².

المثال السادس

ورقة على شكل نصف دائرة، قطرها يساوي 6.28 سم، فإذا علمت أنه تم تحويلها إلى مخروط قائم احسب المساحة الجانبية لهذا المخروط؟

الحل: المساحة الجانبية للمخروط القائم= مساحة القطاع الدائري. المساحة الجانبية للمخروط القائم= (درجة 180÷360) ×π×نق².

المساحة الجانبية للمخروط القائم= 1/2×π×نق².

المساحة الجانبية للمخروط القائم= 2/πنق².

بما أن نق=القطر÷2، بالتالي فإن نق=3.14، وتعويض نصف القطر في القانون.

ينتج أن: المساحة الجانبية للمخروط القائم= 2/(π ×3.14×3.14). المساحة الجانبية للمخروط القائم=π9298سم²، (الجواب بدلالة π).

المساحة الجانبية للمخروط = 4.9298×3.14. المساحة الجانبية للمخروط = 15.4796سم².

شاهد أيضًا: موضوع تعبير عن مساحة شبه المنحرف

تعرفنا معًا على قوانين حساب مساحة المخروط وبعض الأمثلة على استخدام هذه القوانين، شاركونا في التعليقات للإجابة على أسئلتكم واستفساراتكم حول هذه المسألة.

أترك تعليق